Он был возведён в рамках городской программы строительства православных храмов, известной как «Программа 200», направленной на обеспечение шаговой доступности храмов в жилых районах столицы.
Решение о строительстве храма было принято в начале 2010-х годов в связи с необходимостью обеспечения духовного окормления растущего населения района Вешняки. Проект храма был разработан архитектурной мастерской «Моспроект-3» под руководством архитектора И. Г. Бирюкова. Генеральным подрядчиком строительства выступило ООО «Мостотоннельстрой». Строительные работы начались в 2012 году и продолжались до 2015 года. 2 января 2016 года состоялось малое освящение храма, после чего в нём начались регулярные богослужения. 12 июля 2019 года, в день памяти святых апостолов Петра и Павла, Святейший Патриарх Московский и всея Руси Кирилл совершил чин великого освящения храма.
Архитектурно храм представляет собой здание, выполненное в традиционном русском стиле. Он состоит из одного основного объёма с пятиглавием и колокольней. Общая площадь храма составляет 645 м², включая подземные помещения площадью 295 м². Площадь застройки храма составляет 338,16 м². Рядом с храмом расположен приходской дом площадью 1 249 м², строительство которого велось с 2013 по 2019 год. Площадь участка, на котором расположен храмовый комплекс, составляет 0,36 га.
Храм святого праведного Алексия Московского (Мечёва) является первым в России храмом, посвящённым этому московскому святому и пастырю XX века. Он завершает собой символический крест, образуемый храмами района Вешняки: Введенским храмом на севере, Успенским на юге, храмом Всемилостивого Спаса в Кускове на западе и храмом Алексия Мечёва на востоке.
